[부스트코스]인공지능을 위한 선형대수 - 선형결합

선형결합

• 벡터와 스칼라값이 주어졌을때 벡터와 스칼라를 곱한 것들을 더한 것을 선형결합이라고 한다.

 

예제

v1 = [
	1,
	2,
	3
	]

v2 = [
	4,
	5,
	6
]

s1 = 3
s2 = -1

s1v1 + s2v2의 값은 여전히 3차원 벡터가 된다.

여기서 스칼라, 즉 가중치는 실수만 사용하게 되고 당연히 0도 포함된다.

매트릭스방정식 -> 벡터 방정식으로 표현하기

스판(Span): 생성

• 주어진 재료 벡터들을 다양한 계수와 함께 선형결합을 해서 만들어지는 결과 벡터들의 집합
• 재료벡터를 사용해서 만들 수 있는 가능한 모든 선형결합의 결과물벡터의 집합, 벡터들의 결합으로 나타낼 수 있는 공간이라 할 수 있음
• 해가 있는 경우: 어떤 벡터들의 Span내에 우리가 구하려는 벡터가 포함되는 경우. 예제(페이지34)로 치면 b벡터가 a1, a2, a3 벡터의 span에 포함되어야한다.

방정식의 개수는 오리지널차원을 의미하고, 주어진 벡터는 운용할 수 있는 미지수로 사용이 된다.

 

 

행렬의 곱을 벡터의 선형결합으로 생각해보기

리마인드

• 이전 수업에서 행렬의곱은 왼쪽의 row와 오른쪽의 column의 내적으로 나타낸 적이 있다.

• 벡터의 방정식을 통해, 우리는 Ax를 왼쪽 행렬의 column들의 선형결합으로나타낼 수 있다.

예제

왼쪽 행렬에서 각 column을 하나의 벡터로 보고, 각 벡터에 들어가는 가중치가 1, 2, 3이 된다고 볼 수 있다.

다만 이 방정식의 경우엔 일반적인 행렬곱이 아닌데, 오른쪽이 벡터이기 때문이다. 일반적인 행렬 곱으로도 알아보자

* 오른쪽에 추가된 열벡터는 왜 [-1, 0, 1]인가?

• 오른쪽 행렬 확장 시 추가되는 열벡터는 반드시 상황과 목적에 맞게 선택됩니다.
• 추가되는 벡터는 기존 열벡터들과 선형적으로 독립적이어야 하며 문제의 요구사항을 충족해야 합니다.
• 예시에서는 [−1,0,1][−1,0,1]이 사용되었지만 다른 선형적으로 독립적인 벡터도 사용할 수 있습니다.

이해하기 위해서 추가로 알아야하는 개념

1. 선형 결합과 기저 벡터:
   • 행렬 곱셈은 왼쪽 행렬의 열벡터를 오른쪽 행렬의 열벡터 계수로 선형 결합하여 결과를 생성합니다78.
   • 오른쪽 행렬의 열벡터는 왼쪽 행렬의 열벡터와 상호작용하여 새로운 벡터를 생성하는데, 이 과정은 선형 결합의 원리를 따릅니다.
2. 열벡터의 독립성:
   • 오른쪽 행렬에 추가되는 열벡터는 기존 열벡터들과 선형적으로 독립적이어야 합니다. 선형적으로 독립적이지 않은 벡터를 추가하면 결과가 중복되거나 의미 없는 결과를 낳습니다7.
3. 문제의 맥락:
   • 추가되는 열벡터는 문제 상황에 따라 달라질 수 있습니다. 예를 들어, 특정 데이터나 계산 목적에 따라 열벡터가 결정됩니다58.

로우벡터들의 결합으로도 생각해보기

유도하기

위의 컬럼벡터 예제에 트랜스포즈를 취한다고 생각했을때, 최종적으로 아래와 같은 형태가 된다.

 

매트릭스 곱을 Rank-1의 외적의 합으로 생각해보기

* 이 부분은 이해를 잘 못 했는데 추후 공부를 더 해보고 설명 추가 예정